Question

17．設(shè)點(diǎn)M（x₀，y₀）在直線x+y-4=0上，若圓C：x²+y²=4上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=30°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則x₀的取值范圍是[0，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，可知當(dāng)過M點(diǎn)作圓的切線，切線與OM所成角是圓上的點(diǎn)與OM所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此時(shí)半徑，切線與OM構(gòu)成直角三角形，因?yàn)榍芯�與OM所成角大于等于30°所以O(shè)M小于等于半徑的2倍，再用含x₀的式子表示OM，即可求出x₀的取值范圍．

解答 解：過M作⊙C切線交⊙C于R，
根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OMR≥∠OMN=30°．
反過來，如果∠OMR≥30°，
則⊙C上存在一點(diǎn)N使得∠OMN=30°．
∴若圓C上存在點(diǎn)N，使∠OMN=30°，則∠OMR≥30°．
∵|OR|=2，∴|OM|＞4時(shí)不成立，∴|OM|≤4．
又∵|OM|²=x₀²+y₀²=x₀²+（4-x₀）²=2x₀²-8x₀+16，
∴2x₀²-8x₀+16≤16，解得，0≤x₀≤4．
∴x₀的取值范圍是[0，4]，
故答案為：[0，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓相切時(shí)切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．