Question

19．已知函數(shù)f（x）=log₂（4-x²）的定義域為A，函數(shù)g（x）=x²-2ax+a，對任意的x₁∈A總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由真數(shù)大于零求出函數(shù)f（x）的定義域A，在利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域，將條件轉(zhuǎn)化為：存在x₂∈[1，2]使得g（x₂）的最大值大于等于2即可，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行分類討論：根據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，分別求出函數(shù)g（x）的最大值，列出不等式求出a的范圍．

解答 解：由4-x²＞0得，-2＜x＜2，
則函數(shù)f（x）=log₂（4-x²）的定義域A=（-2，2），
當(dāng)x₁∈A時，0＜4-x²≤4，所以log₂（4-x²）≤2，
則函數(shù)任意的x₁∈A使得f（x₁）≤2成立，
∵對任意的x₁∈A總存在x₂∈[1，2]使得f（x₁）≤g（x₂）成立，
∴存在x₂∈[1，2]使得g（x₂）的最大值大于等于2即可，
函數(shù)g（x）=x²-2ax+a的對稱軸是x=a，
①當(dāng)a≥$\frac{3}{2}$時，函數(shù)g（x）在[1，2]上最大值是g（1）=1-a，
所以1-a≥2，解得a≤-1，則a無解，
②當(dāng)a＜$\frac{3}{2}$時，函數(shù)g（x）在[1，2]上最大值是g（2）=4-3a，
所以4-3a≥2，解得a≤$\frac{2}{3}$，則a≤$\frac{2}{3}$，
綜上可得，a的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，正確進行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．