Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點及單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：曲線y=$\frac{lnx}{x}$存在斜率為6的切線，且切點的縱坐標y₀＜-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令f（x）=0，求出函數(shù)的零點，求出函數(shù)的導數(shù)，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，求出函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的單調性得到得：$ln{x_0}=1-6x_0^2$，從而證出結論．

解答 解：（Ⅰ）令f（x）=0，得x=e．故f（x）的零點為e，
$f'（x）=\frac{{（-\frac{1}{x}）•{x^2}-（1-lnx）•2x}}{{{{（{x^2}）}^2}}}=\frac{2lnx-3}{x^3}$（x＞0）．
令 f′（x）=0，解得 $x={e^{\frac{3}{2}}}$．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，${e}^{\frac{3}{2}}$）	${e}^{\frac{3}{2}}$	（${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減		遞增

所以 f（x）的單調遞減區(qū)間為$（0，{e^{\frac{3}{2}}}）$，單調遞增區(qū)間為$（{e^{\frac{3}{2}}}，+∞）$．
（Ⅱ）令$g（x）=\frac{lnx}{x}$．則$g'（x）=\frac{{\frac{1}{x}•x-1•lnx}}{x^2}=\frac{1-lnx}{x^2}=f（x）$，
因為  $f（\frac{1}{2}）=4+4ln2＞4+4×\frac{1}{2}=6$，f（e）=0，且由（Ⅰ）得，f（x）在（0，e）內是減函數(shù)，
所以 存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{2}，e）$，使得g′（x₀）=f（x₀）=6．
當x∈[e，+∞）時，f（x）≤0．
所以 曲線$y=\frac{lnx}{x}$存在以（x₀，g（x₀））為切點，斜率為6的切線．
由$g'（{x_0}）=\frac{{1-ln{x_0}}}{x_0^2}=6$得：$ln{x_0}=1-6x_0^2$．
所以 $g（{x_0}）=\frac{{ln{x_0}}}{x_0}=\frac{1-6x_0^2}{x_0}=\frac{1}{x_0}-6{x_0}$．
因為 ${x_0}＞\frac{1}{2}$，所以 $\frac{1}{x_0}＜2$，-6x₀＜-3．
所以 y₀=g（x₀）＜-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性，函數(shù)的零點問題，考查導數(shù)的應用，考查曲線的切線問題，是一道中檔題．