Question

12．若對任意的x≥2，都有（x+a）|x+a|+（ax）|x|≤0，則a的最大值為-1．

Answer 1

分析 由題意可得，x≥2時，（x+a）|x+a|+（ax）•x≤0恒成立，分類討論，求得a的范圍，可得a的最大值．

解答 解：對任意的x≥2，都有（x+a）|x+a|+（ax）|x|≤0，即 x≥2時，（x+a）|x+a|+（ax）•x≤0恒成立．
①若x+a≥0，即a≥-2時，則有（x+a）²+ax²≤0，
∴（a+1）x²+2ax+a²≤0．
令f（x）=（a+1）x²+2ax+a²，則有a+1=0，或-$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{-\frac{2a}{2（a+1）}＜2}\\{f（2）=4（a+1）+4a+{a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
求得a=-1，或-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-4+2$\sqrt{3}$，綜合可得-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-2 或a=-1．
②若x+a＜0，即a＜-2時，則有-（x+a）²+ax²≤0，
∴（a-1）x²-2ax-a²≤0．
令g（x）=（a-1）x²-2ax-a²，則它的圖象的對稱軸為x=$\frac{a}{a-1}$＜0，g（2）=-4-a²≤0恒成立．
即此時，a的范圍為 a＜-2．
③若x+a=0，即a=-x≤-2 時，則由題意可得ax²≤0，滿足條件．
綜合①②③可得，a≤-2或-4-2$\sqrt{3}$≤a≤-2 或a=-1，故a的最大值為-1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．