Question

15．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬(wàn)元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元（如圖）．
（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益和投資的函數(shù)關(guān)系；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，問(wèn)：怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益，其最大收益為多少萬(wàn)元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法確定出f（x）與g（x）解析式即可；
（2）設(shè)設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬(wàn)元，則股票類投資為（20-x）萬(wàn)元，根據(jù)y=f（x）+g（x）列出二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=k₁x，g（x）=k₂$\sqrt{x}$，
由題意，可得f（1）=0.125=k₁，g（1）=k₂=0.5，
則f（x）=0.125x（x≥0），g（x）=0.5$\sqrt{x}$（x≥0）；
（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品x萬(wàn)元，則股票類投資為（20-x）萬(wàn)元，
由題意，得y=f（x）+g（20-x）=0.125x+0.5$\sqrt{20-x}$（0≤x≤20），
令t=$\sqrt{20-x}$，則有x=20-t²，
∴y=0.125（20-t²）+0.5t=-0.125（t-2）²+3，
當(dāng)t=2，即x=16萬(wàn)元時(shí)，收益最大，此時(shí)y_max=3萬(wàn)元，
則投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品16萬(wàn)元，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品4萬(wàn)元獲得收益最大，最大收益為4萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．