Question

8．設(shè)當x=θ時，函數(shù)f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則f（x）的最大值是$\sqrt{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式為f（x）=$\sqrt{5}$sin（x-α），其中，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，由此求得f（x）的最大值以及θ的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinx-2cosx=$\sqrt{5}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$sinx-$\frac{2}{\sqrt{5}}$cosx）=$\sqrt{5}$sin（x-α），其中，cosα=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
故當x=2kπ+α+$\frac{π}{2}$，k∈z時，函數(shù)取得最大值為$\sqrt{5}$，此時x=θ=2kπ+α+$\frac{π}{2}$，k∈z，∴cosθ=-sinα=-$\frac{2}{\sqrt{5}}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查輔助角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．