Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax³+cx+d（a≠0）在R上滿足 f（-x）=-f（x），當x=1時f（x）取得極值-2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極大值；
（2）證明：對任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（-x）=-f（x）（x∈R）得d=0，求得f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（1）=0，f（1）=-2，解得a=1，c=-3，求得f（x）的導數(shù)，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，進而得到極大值；
（2）求出f（x）在[-1，1]的最大值M和最小值m，對任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m，即可得證．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x）（x∈R）得d=0，
∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=ax²+c．
由題設f（1）=-2為f（x）的極值，必有f′（1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=0\\ 3a+c=0\end{array}\right.$解得a=1，c=-3，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）
從而f′（1）=f′（-1）=0．
當x∈（-∞，-1）時，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）上是增函數(shù)；
在x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，則f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（-1）=2為極大值．
（2）證明：由（1）知，f（x）=x³-3x在[-1，1]上是減函數(shù)，
且f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，
在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2．
對任意的x₁，x₂∈（-1，1），恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=2-（-2）=4．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性的運用，考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．