Question

1．已知二次函數(shù)y=f（x）滿足條件f（0）=$\frac{1}{2}$m和f（x+1）-f（x-1）=4x-2m
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)y=f（x）的圖象與x軸有兩個交點時，這兩個交點是否可能在點（$\frac{1}{2}$，0）的兩側(cè)．

Answer 1

分析 （1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應(yīng)系數(shù)相等解得答案；
（2）根據(jù)f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$＞0，可得y=f（x）的圖象與x軸有兩個交點不可能在點（$\frac{1}{2}$，0）的兩側(cè)．

解答 解：設(shè)y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=c=$\frac{1}{2}$m，f（x+1）-f（x-1）=4x-2m，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c-[a（x-1）²+b（x-1）+c]=4ax+2b=4x-2m，
∴4a=4，2b=-2m，
解得a=1，b=-m，
函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=x²-mx+$\frac{1}{2}$m
（2）由（1）中f（x）=x²-mx+$\frac{1}{2}$m，
∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$＞0，
故y=f（x）的圖象與x軸有兩個交點不可能在點（$\frac{1}{2}$，0）的兩側(cè)．

點評 本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)模型已知的函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．