Question

10．已知曲線f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+be^-x在點（0，f（0））處的切線方程為x+2y-2=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果當x≠0時，都有f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導數(shù)，求得切線的斜率和切點，由切線方程，可得a，b的方程，解方程可得a，b的值；
（Ⅱ）由題意可得$\frac{x}{1+{e}^{x}}$+e^-x＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，即有（1-k）e^-x＞$\frac{2x}{{e}^{2x}-1}$，即1-k＞$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，可令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，可得最值，即可得到k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{ax}{{e}^{x}+1}$+be^-x的導數(shù)為
f′（x）=$\frac{a（{e}^{x}+1）-ax{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
由切線方程為x+2y-2=0，可得
f（0）=1，f′（0）=-$\frac{1}{2}$，
即有b=1，$\frac{1}{2}$a-b=-$\frac{1}{2}$，
解得a=b=1；
（Ⅱ）當x≠0時，都有f（x）＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，即為
$\frac{x}{1+{e}^{x}}$+e^-x＞$\frac{x}{{e}^{x}-1}$+ke^-x，
即有（1-k）e^-x＞$\frac{2x}{{e}^{2x}-1}$，即1-k＞$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
可令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，g（-x）=$\frac{-2x}{{e}^{-x}-{e}^{x}}$=g（x），
即有g(shù)（x）為偶函數(shù)，只要考慮x＞0的情況．
由g（x）-1=$\frac{2x-{e}^{x}+{e}^{-x}}{{e}^{x}-{e}^{-x}}$，
x＞0時，e^x＞e^-x，
由h（x）=2x-e^x+e^-x，h′（x）=2-（e^x+e^-x）≤2-2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=0，
則h（x）在x＞0遞減，即有h（x）＜h（0）=0，
即有g(shù)（x）＜1．
故1-k≥1，解得k≤0．
則k的取值范圍為（-∞，0]．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，求出最值，考查運算能力，屬于中檔題．