Question

20．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+{2}^{x}（x≤0）}\\{\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+\frac{a}{3}（x＞0）}\end{array}\right.$在其定義域上只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞16．

Answer 1

分析 先求出f（x）在x＜0時有零點(diǎn)，從而得到f（x）在x＞0時無零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：x≤0時：f（x）=x+2^x，
因?yàn)閒（x）遞增，且f（0）=0+2⁰=1，f（-1）=-1+2^-1=-$\frac{1}{2}$，
∴f（-1）•f（0）＜0，
故f（x）在（-1，0）有唯一零點(diǎn)；
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+$\frac{a}{3}$（x＞0）無零點(diǎn)，
因?yàn)閒′（x）=x²-4，
x∈（0，2），f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（2，+∞），f′（x）＞0，f（x）遞增，
所以極小值f（2）=$\frac{a-16}{3}$＞0，
∴a＞16，
故答案為：a＞16．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考察函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．