Question

2．已知圓C的方程：x²+y²+2x+4y-3=0．
（1）若P（x，y）是圓C上一點(diǎn)，求表達(dá)式x+y的取值范圍；
（2）若P（x，y）是圓C上一點(diǎn)，求（x-2）²+（y+1）²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=-1+2$\sqrt{2}$cosα，y=-2+2$\sqrt{2}$sinα，α∈[0，2π），由三角函數(shù)的性質(zhì)能求出x+y的范圍．
（2）（x-2）²+（y+1）²=（2$\sqrt{2}$cosα-3）²+（2$\sqrt{2}$sinα-1）²=14-12$\sqrt{2}$cosα-4$\sqrt{2}$sinα=14-8$\sqrt{5}$sin（α+θ），由此利用三角函數(shù)能求出（x-2）²+（y+1）²的取值范圍．

解答 解：（1）圓C的方程：x²+y²+2x+4y-3=0，化為（x+1）²+（y+2）²=8上的動(dòng)點(diǎn)，
∴令x=-1+2$\sqrt{2}$cosα，y=-2+2$\sqrt{2}$sinα，α∈[0，2π），
∴x+y=2$\sqrt{2}$sinα+2$\sqrt{2}$cosα-3=4sin（α+$\frac{π}{4}$）-3，
∴x+y的范圍是[-7，1]．
（2）（x-2）²+（y+1）²=（2$\sqrt{2}$cosα-3）²+（2$\sqrt{2}$sinα-1）²=14-12$\sqrt{2}$cosα-4$\sqrt{2}$sinα
=14-8$\sqrt{5}$sin（α+θ），
∴（x-2）²+（y+1）²的取值范圍是[14-8$\sqrt{5}$，14+8$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的方程、三角函數(shù)、點(diǎn)到直線距離公式、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．