Question

20．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）寫出曲線C₁的參數(shù)方程和曲線C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知M是曲線C₁上任意一點(diǎn)，N是曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|MN|的最大、最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的普通方程能求出曲線C₁的參數(shù)方程，由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y能求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）圓C₂的圓心C₂（1，0），半徑r=1，設(shè)M（3cosθ，2sinθ），由|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，能求出|MN|的最大值、最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜2π，
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）由已知得：圓C₂的圓心C₂（1，0），半徑r=1，設(shè)M（3cosθ，2sinθ），
|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1，
|MC₂|²=（3cosθ-1）²+4sin²θ=9cos²θ-6cosθ+1+4sin²θ=5cos²θ-6cosθ+5，
當(dāng)cosθ=-1時，|MC₂|²_max=16，|MC₂|_max=4，
當(dāng)當(dāng)cosθ=$\frac{3}{5}$時，|MC₂|²_min=$\frac{16}{5}$，|MC₂|_min=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{4\sqrt{5}}{5}-1$≤|MC₂|-1≤|MN|≤|MC₂|+1≤4+1=5，
∴|MN|的最大值為5，最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}-1$．

點(diǎn)評 本題考查曲線的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的求法，考查線段的最大、最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．