Question

16．（1）一個(gè)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，-1），和直線x-y=1相切，并且圓心在直線y=-2x上，求這個(gè)圓的方程．
（2）已知兩點(diǎn)A（4，9）和B（6，3）兩點(diǎn)，求以AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓心C的坐標(biāo)為（a，-2a），利用圓經(jīng)過(guò)A（2，-1），和直線x-y=1相切，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑，然后根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．
（2）設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為C（a，b），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到a，b．再利用兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑r=|AC|，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）因?yàn)閳A心C在直線y=-2x上，可設(shè)圓心為C（a，-2a）．
則點(diǎn)C到直線x-y=1的距離d=$\frac{|3a-1|}{\sqrt{2}}$
據(jù)題意，d=|CP|，則（$\frac{|3a-1|}{\sqrt{2}}$）²=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-10a+9=0
∴a=1或9．
∴圓心為C（1，-2），半徑r=d=$\sqrt{2}$，或圓心為C（9，-18），半徑r=d=13$\sqrt{2}$
∴所求圓的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2或（x-9）²+（ y+18）²=338．
（2）設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為C（a，b），則a=5，b=6．∴C（5，6）．
∴圓的半徑r=|AC|=$\sqrt{（4-5）^{2}+（9-6）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∴以AB為直徑的圓的方程為（x-5）²+（y-6）²=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，考查點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間的距離公式，充分運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵．