Question

4．設空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若點P滿足向量關系$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x+y+z=1），試問：P，A，B，C四點是否共面？并說明理由．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{OP}$=（1-y-z）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，由此利用空間向量共面定理能證明P，A，B，C四點共面．

解答 解：P，A，B，C四點共面．
理由如下：
∵$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$（x+y+z=1），
∴$\overrightarrow{OP}$=（1-y-z）$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，
即$\overrightarrow{AP}$=y$\overrightarrow{AB}$+z$\overrightarrow{AC}$，
由共面定理可知向量$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$共面，
∴P，A，B，C四點共面．

點評 本題考查四點共面的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間向量共面定理的合理運用．