Question

15．2015年10月4日，強臺風“彩虹”登錄廣東省湛江市，“彩虹”是1949年以來登陸中國陸地的最強臺風，“彩虹”給湛江市人民帶來了巨大的財產(chǎn)損失，湛江市教育局調(diào)查了湛江市50戶居民由于臺風造成的經(jīng)濟損失，將收集的數(shù)據(jù)分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五組，作出頻率分布直方圖，并向全市發(fā)出倡議，為受災的湛江市居民捐款，（視頻率為概率）
（Ⅰ）在湛江市受害災民中隨機抽取3戶，設損失超過8000元的居民為x戶，求x的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）湛江市教育局調(diào)查了50戶居民捐款情況如下表，說明是否有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于500元和自身經(jīng)濟損失是否超過8000元有關(guān)？

	經(jīng)濟損失不超過5000元	經(jīng)濟損失超過5000元	合計
捐款超過500元	30	9	39
捐款不超過500元	5	6	11
合計	35	15	50

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，且X～B（3，0.06），由此能求出X的分布列和EX．
（Ⅱ）求出K²=4.046＞30841，從而得到有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于500元和自身經(jīng)濟損失是否超過8000元有關(guān)．

解答 解：（Ⅰ）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
由頻率分布直方圖知損失超過8000元的頻率為0.06，用頻率表示概率，得X～B（3，0.06），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.06）^{0}（1-0.06）^{3}$=0.830584，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.06）^{1}（1-0.06）^{2}$=0.159048，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.06）^{2}（1-0.06）$=0.010152，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.06）^{3}（1-0.06）^{0}$=0.000216，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.830584	0.159048	0.010152	0.000216

EX=3×0.06=0.18．
（Ⅱ）K²=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$=4.046＞30841，
∴有95%以上的把握認為捐款數(shù)額多于500元和自身經(jīng)濟損失是否超過8000元有關(guān)．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．