【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中， ， ，點為線段的中點．

（Ⅰ）試問在線段上是否存在點，使得直線平面？若存在，請證明平面，并求出的值，若不存在，請說明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）因為，所以在同一平面，取的中點，連結，交點即為所求點，因為；（2）根據(jù)底面菱形，根據(jù)余弦定理求，三邊滿足勾股定理，所以， 平面，所以以建立空間直角坐標系，分別計算平面和平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，再求正弦值.

試題解析：（1）取的中點，連接交于點， 點即為所求的點.

證明：連接，

∵是的中點， 是的中點，

∴，

又平面， 平面，

∴直線平面.

∵，

∴，

∴.

（2）由（1）知，

又面面，面 面， 面，

所以面.

故.

以為空間原點， 分別為軸建立空間直角坐標系，

∵，

∴為正三角形， ，

∴，

∴.

設平面的一個法向量，則由可得

令，則.

設平面的一個法向量，則由可得

令，則.

則，

設二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與C相交于A，B兩點，若|AB|＝8，求直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線m、n與平面α、β，下列命題正確的是（ ）
A.m⊥α，n∥β且α⊥β，則m⊥n
B.m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n
C.α∩β=m，n⊥m且α⊥β，則n⊥α
D.m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點G是△ABC的重心，且AG⊥BG， + = ，則實數(shù)λ的值為（ ）
A.
B.
C.3
D.2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】用數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．

（Ⅰ）可組成多少個不同的四位數(shù)?

（Ⅱ）可組成多少個不同的四位偶數(shù)?

（Ⅲ）將（Ⅰ）中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第項是什么?

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓關于直線對稱的圓為.

（1）求圓的方程；

（2）過點作直線與圓交于兩點， 是坐標原點，是否存在這樣的直線，使得在平行四邊形中？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知平面α∥平面β，P是α，β外一點，過點P的直線m與α，β分別交于點A，C，過點P的直線n與α，β分別交于點B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，則BD的長為（　　）
A.
B.
C.或24
D.或12

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1 ， E，F(xiàn)，P，Q分別是BC，C1D1 ， AD1 ， BD的中點，求證：
（1）PQ∥平面DCC1D1
（2）EF∥平面BB1D1D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

（2）當時，證明：函數(shù)只有一個零點.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案