Question

【題目】已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如圖，其中， ， ，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）試問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面？若存在，請(qǐng)證明平面，并求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）因?yàn)?/span>，所以在同一平面，取的中點(diǎn)，連結(jié)，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，因?yàn)?/span>；（2）根據(jù)底面菱形，根據(jù)余弦定理求，三邊滿(mǎn)足勾股定理，所以， 平面，所以以建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面和平面的法向量，求法向量夾角的余弦值，再求正弦值.

試題解析：（1）取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)， 點(diǎn)即為所求的點(diǎn).

證明：連接，

∵是的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，

∴，

又平面， 平面，

∴直線(xiàn)平面.

∵，

∴，

∴.

（2）由（1）知，

又面面，面 面， 面，

所以面.

故.

以為空間原點(diǎn)， 分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

∵，

∴為正三角形， ，

∴，

∴.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則由可得

令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則由可得

令，則.

則，

設(shè)二面角的平面角為，則，

∴二面角的正弦值為.