Question

6．拋物線y=x²上有一點A的橫坐標為a，其中a∈（0，1），過點A的拋物線的切線l交x軸及直線x=1于B，C兩點，直線x=1交x軸于D點．
（1）求直線l的方程；
（2）求△BCD的面積S（a），并求出a為何值時S（a）有最大值．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得y′，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，進而得到切線的方程；
（2）利用切線的方程即可得出點B，C的坐標，再利用三角形的面積公式，求得S（a），再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵y=x²，∴y'=2x，
可得切線l的斜率為2a，
∴切線l的方程是y-a²=2a（x-a），即2ax-y-a²=0；
（2）由2ax-y-a²=0，令y=0，
解得x=$\frac{a}{2}$，∴B（$\frac{a}{2}$，0）；
令x=1，解得y=2a-a²，即C（1，2a-a²），
∴|BD|=1-$\frac{a}{2}$，|CD|=2a-a²，
∴△BCD的面積S（a）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{a}{2}$）（2a-a²）=$\frac{1}{4}$（a³-4a²+4a），
S′（a）=$\frac{1}{4}$（3a²-8a+4）=$\frac{1}{4}$（3a-2）（a-2），
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=$\frac{2}{3}$．
當(dāng)0＜a＜$\frac{2}{3}$時，S'（a）＞0；
當(dāng)$\frac{2}{3}$＜a＜1時，S'（a）＜0．
∴a=$\frac{2}{3}$時，S（a）有最大值．

點評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等是解題的關(guān)鍵．