Question

14．在平面直角坐標系xOy中，對于⊙O：x²+y²=1來說，P是坐標系內(nèi)任意一點，點P到⊙O的距離S_P的定義如下：若P與O重合，S_P=r；若P不與O重合，射線OP與⊙O的交點為A，S_P=AP的長度（如圖）．
①點$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距離為$\frac{2}{3}$；
②直線2x+2y+1=0在圓內(nèi)部分的點到⊙O的最長距離為1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 ①O（0，0）與P（$\frac{1}{3}$，0），由此能求出點$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距離S_P．
②由圓心O（0，0）到直線2x+2y+1=0的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜1=r，得到直線2x+2y+1=0在圓內(nèi)部分的點到⊙O的最長距離（S_P）_max=1-d，由此能求出結(jié)果．

解答 解：①∵O（0，0），∴P（$\frac{1}{3}$，0）與O不重合，
∴點$（\frac{1}{3}，0）$到⊙O的距離S_P=|AP|=1-$\sqrt{（\frac{1}{3}-0）^{2}+（0-0）^{2}}$=$\frac{2}{3}$．
②∵圓心O（0，0）到直線2x+2y+1=0的距離d=$\frac{|1|}{\sqrt{4+4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$＜1=r，
∴直線2x+2y+1=0與⊙O：x²+y²=1相交，
∴直線2x+2y+1=0在圓內(nèi)部分的點到⊙O的最長距離：
（S_P）_max=1-d=1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為：$\frac{2}{3}$；1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題點到圓的“距離”的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意新定義和兩點間距離公式的靈活運用．