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15.在數字1,2,…,n(n≥2)的任意一個排列A:a1,a2,…,an中,如果對于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就稱(ai,aj)為一個逆序對.記排列A中逆序對的個數為S(A).
如n=4時,在排列B:3,2,4,1中,逆序對有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),則S(B)=4.
(Ⅰ)設排列 C:3,5,6,4,1,2,寫出S(C)的值;
(Ⅱ)對于數字1,2,…,n的一切排列A,求所有S(A)的算術平均值;
(Ⅲ)如果把排列A:a1,a2,…,an中兩個數字ai,aj(i<j)交換位置,而其余數字的位置保持不變,那么就得到一個新的排列A':b1,b2,…,bn,求證:S(A)+S(A')為奇數.

分析 (Ⅰ)由逆序對的定義,列舉即可得到所求值為10;
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn,運用組合數可得排列D中數對(di,dj)共有$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$個,即可得到所有S(A)的算術平均值;
(Ⅲ)討論(1)當j=i+1,即ai,aj相鄰時,(2)當j≠i+1,即ai,aj不相鄰時,由新定義,運用調整法,可得S(A)+S(A')為奇數.

解答 解:(Ⅰ)逆序對有(3,1),(3,2),(5,4),(5,1),(5,2),(4,1),(4,2),
(6,4),(6,1),(6,2)則S(C)=10;                                             
(Ⅱ)考察排列D:d1,d2,…,dn-1,dn與排列D1:dn,dn-1,…,d2,d1
因為數對(di,dj)與(dj,di)中必有一個為逆序對(其中1≤i<j≤n),
且排列D中數對(di,dj)共有$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$個,
所以$S(D)+S({D_1})=\frac{n(n-1)}{2}$.
所以排列D與D1的逆序對的個數的算術平均值為$\frac{n(n-1)}{4}$.
而對于數字1,2,…,n的任意一個排列A:a1,a2,…,an,
都可以構造排列A1:an,an-1,…,a2,a1,
且這兩個排列的逆序對的個數的算術平均值為$\frac{n(n-1)}{4}$.
所以所有S(A)的算術平均值為$\frac{n(n-1)}{4}$.
(Ⅲ)證明:(1)當j=i+1,即ai,aj相鄰時,
不妨設ai<ai+1,則排列A'為a1,a2,…,ai-1,ai+1,ai,ai+2,…,an,
此時排列A'與排列A:a1,a2,…,an相比,僅多了一個逆序對(ai+1,ai),
所以S(A')=S(A)+1,
所以S(A)+S(A')=2S(A)+1為奇數.
(2)當j≠i+1,即ai,aj不相鄰時,
假設ai,aj之間有m個數字,記排列A:a1,a2,…,ai,k1,k2,…km,aj,…,an
先將ai向右移動一個位置,得到排列A1:a1,a2,…,ai-1,k1,ai,k2,…,km,aj,…,an
由(1)知S(A1)與S(A)的奇偶性不同,
再將ai向右移動一個位置,得到排列A2:a1,a2,…,ai-1,k1,k2,ai,k3,…,km,aj,…,an,
由(1)知S(A2)與S(A1)的奇偶性不同,
以此類推,ai共向右移動m次,得到排列Am:a1,a2,…,k1,k2,…,km,ai,aj,…,an
再將aj向左移動一個位置,得到排列Am+1:a1,a2,…,ai-1,k1,…,km,aj,ai,…,an
以此類推,aj共向左移動m+1次,得到排列A2m+1:a1,a2,…,aj,k1,…,km,ai,…,an,
即為排列A',
由(1)可知僅有相鄰兩數的位置發(fā)生變化時,排列的逆序對個數的奇偶性發(fā)生變化,
而排列A經過2m+1次的前后兩數交換位置,可以得到排列A',
所以排列A與排列A'的逆序數的奇偶性不同,
所以S(A)+S(A')為奇數.
綜上,得S(A)+S(A')為奇數.

點評 本題考查新定義的理解和運用,考查列舉法和排列組合的運用,運用分類討論的思想方法是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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