Question

20．某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門(mén)預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°相距20（$\sqrt{3}$+1）n mile的海面上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20n mile，正以10$\sqrt{2}$n mile/h的速度沿某一方向勻速直線(xiàn)前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過(guò)且（$\sqrt{3}$+1）h后開(kāi)始影響基地持續(xù)2h，求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開(kāi)始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B、C、D在一直線(xiàn)上，且AD=20、AC=20，在△ABC中，由余弦定理得∠BAC=30°，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為B，開(kāi)始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為D，則B、C、D在一直線(xiàn)上，且AD=20、AC=20，
由題意AB=20（$\sqrt{3}$+1），DC=20$\sqrt{2}$，BC=（$\sqrt{3}$+1）•10$\sqrt{2}$
在△ADC中，∵DC²=AD²+AC²，
∴∠DAC=90°，∠ADC=45°
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠BAC=30°，
又∵B位于A南偏東60°，60°+30°+90°=180°，
∴D位于A的正北方向，
又∵∠ADC=45°，
∴臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)橄蛄?\overrightarrow{CD}$的方向，即北偏西45°方向
答：臺(tái)風(fēng)向北偏西45°方向移動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．