Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x+1}$．
（1）當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)，求f（x）在定義域上的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過分析x的取值范圍情況，討論當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)f′（x）的正負(fù)，即得單調(diào)區(qū)間；
（2）通過求導(dǎo)，問題轉(zhuǎn)化為a＜$x+2+\frac{1}{x}$=g（x），即求g_min（x），利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{9}{2}$時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{9}{2（x+1）}$，
令f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{9}{2（x+1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{2x（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-\frac{1}{2}）（x-2）}{x（x+1）^{2}}$=0，
解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
由f（x）的定義可知x＞0，下面對x的取值范圍進(jìn)行討論：
①當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)$\frac{1}{2}＜x＜2$時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）在$（\frac{1}{2}，2）$上單調(diào)遞減；
③當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上所述，f（x）在定義域上的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為$（\frac{1}{2}，2）$；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{a}{（x+1）^{2}}$＞0，即$\frac{1}{x}＞\frac{a}{（x+1）^{2}}$，
∴a$＜\frac{（x+1）^{2}}{x}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=$x+2+\frac{1}{x}$，
記g（x）=$x+2+\frac{1}{x}$，則a＜g_min（x），
令g′（x）=1$-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$=0，則x=1或-1（舍），
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)g′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（1）=1+2+1=4，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a＜4．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．