Question

9．若函數(shù)f（x）=2x+ae^x有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a$＞-\frac{2}{e}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)a=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，令g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$，利用導(dǎo)數(shù)求解判斷單調(diào)性，g（x）=$\frac{2x}{{e}^{x}}$在（-∞，1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，g（x）最大值為g（1）=$\frac{2}{e}$，求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2x+ae^x，
∴由函數(shù)f（x）=2x+ae^x=0，
得：a=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$=0，x=1
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$＞0，x＞1，
g′（x）=-$\frac{2-2x}{{e}^{x}}$＜0，x＜1，
∴g（x）=-$\frac{2x}{{e}^{x}}$在（-∞，1）單調(diào)遞減，（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）最小值為g（1）=-$\frac{2}{e}$，
∵函數(shù)f（x）=2x+ae^x有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴a＞-$\frac{2}{e}$，
故答案為：a$＞-\frac{2}{e}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用方程的根，函數(shù)的交點(diǎn)，求解函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求解問題，屬于中檔題．