Question

15．已知點A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），求平面ABC的一個單位法向量．

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，設平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，能求出結果．

解答 解：∵A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，5），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，5），
設平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-3x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-3x+5z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$），
∴平面ABC的一個單位法向量為$\overrightarrow{m}$=$\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{20\sqrt{769}}{769}$（1，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$）=（$\frac{20\sqrt{769}}{769}$，$\frac{15\sqrt{769}}{769}$，$\frac{12\sqrt{769}}{769}$）．

點評 本題考查平面的單位法向量的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量垂直的性質的合理運用．