19.在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且滿足$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$.
(1)求角B的大;
(2)若△ABC最大邊的邊長(zhǎng)為$\sqrt{14}$,且sinA=2sinC,求最小邊長(zhǎng).

分析 (1)整理已知等式可得:ac+c2=b2-a2,利用余弦定理可得cosB的值,結(jié)合范圍0<B<π,即可求B的值.
(2)由B=$\frac{2π}{3}$,可知最長(zhǎng)邊為b=$\sqrt{14}$,由sinA=2sinC,可得a=2c,c為最小邊,由余弦定理即可解得最小邊c的長(zhǎng).

解答 解:(1)∵由$\frac{a+c}{a+b}$=$\frac{b-a}{c}$,整理可得:(a+c)c=(b-a)(a+b),即:ac+c2=b2-a2,
∴由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{-ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$,
∵0<B<π,
∴B=$\frac{2π}{3}$.
(2)∵B=$\frac{2π}{3}$,
∴最長(zhǎng)邊為b=$\sqrt{14}$,
∵sinA=2sinC,可得:a=2c,
∴c為最小邊,由余弦定理可得:($\sqrt{14}$)2=4c2+c2-2×$2c×c×(-\frac{1}{2})$,
∴解得c=$\sqrt{2}$,即最小邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,正弦定理,特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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