Question

2．若數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n+n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）記b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}（{1-{a_n}}）{{log}_2}（{1-{a_{n+1}}}）}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知的數(shù)列遞推式中取n=1求得數(shù)列首項，取n=n-1得另一遞推式，兩式作差可得a_n=2a_n-1-1（n≥2），然后利用構(gòu)造法可得數(shù)列{a_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由數(shù)列{a_n-1}是以2為公比的等比數(shù)列求得a_n，代入b_n=log₂（a_n+1）后求出b_n=n，再代入后利用裂項相消法求和．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁+1，解得a₁=-1，
當n＞1時，由題意，S_n-1=2a_n-1+（n-1）
所以，S_n-S_n-1=（2a_n+n）-[2a_n-1-（n-1）]=2a_n-2a_n-1+1，即a_n=2a_n-1-1，
所以 a_n-1=2（a_n-1-1），
即 $\frac{{{a_n}-1}}{{{a_{n-1}}-1}}=2$
所以，數(shù)列{a_n-1}是首項為-2，公比為2等比數(shù)列；
（2）由上，${a_n}-1=-2•{2^{n-1}}=-{2^n}$，
所以${a_n}=1-{2^n}$，
${b_n}=\frac{1}{{{{log}_2}（{1-{a_n}}）{{log}_2}（{1-{a_{n+1}}}）}}=\frac{1}{{{{log}_2}{2^n}•{{log}_2}{2^{n+1}}}}=\frac{1}{{n•（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
所以，${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．