Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+$\sqrt{{a}^{2}{x}^{2}-ax+\frac{1}{4}}$（a≥0）．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：函數(shù)f（x）有且只有一個零點．

Answer 1

分析 （1）a代入可得f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，分區(qū)間討論去絕對值得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）整理得f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，構(gòu)造函數(shù)令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，函數(shù)零點問題相當于兩函數(shù)交點問題，通過數(shù)形結(jié)合，得出結(jié)論．

解答 解：（1）當a=1時，
f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，
當x≥$\frac{1}{2}$時，f（x）=x³+x-$\frac{1}{2}$|，顯然遞增；
當x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=x³-x+$\frac{1}{2}$|，
f'（x）=3x²-1，
∴當x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，f'（x）＞0，函數(shù)遞增，
當x∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$）時，f'（x）＜0，函數(shù)遞減，
（2）f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，
令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，
畫出函數(shù)h（x）圖象如圖：
由g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|圖象可知有且只有一個交代，
∴函數(shù)f（x）有且只有一個零點．

點評 本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性問題和利用構(gòu)造函數(shù)的方法解決函數(shù)零點問題．