Question

10．已知函數f（x）=x³+$\sqrt{{a}^{2}{x}^{2}-ax+\frac{1}{4}}$（a≥0）．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）求證：函數f（x）有且只有一個零點．

Answer 1

分析 （1）a代入可得f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，分區(qū)間討論去絕對值得出函數的單調區(qū)間；
（2）整理得f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，構造函數令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，函數零點問題相當于兩函數交點問題，通過數形結合，得出結論．

解答 解：（1）當a=1時，
f（x）=x³+|x-$\frac{1}{2}$|，
當x≥$\frac{1}{2}$時，f（x）=x³+x-$\frac{1}{2}$|，顯然遞增；
當x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）=x³-x+$\frac{1}{2}$|，
f'（x）=3x²-1，
∴當x∈（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）時，f'（x）＞0，函數遞增，
當x∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{2}$）時，f'（x）＜0，函數遞減，
（2）f（x）=x³+|ax-$\frac{1}{2}$|，
令h（x）=-x³，g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|，
畫出函數h（x）圖象如圖：
由g（x）=|ax-$\frac{1}{2}$|圖象可知有且只有一個交代，
∴函數f（x）有且只有一個零點．

點評 本題考查了分段函數單調性問題和利用構造函數的方法解決函數零點問題．