Question

15．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁≤0，i=1，2）是拋物線上的兩點，∠APB的角平分線與x軸垂直，求直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的定義，利用|PF|=4，求得P即可；
（2）根據(jù)條件判定直線PA、PB的斜率關(guān)系，求出直線AB的斜率，再設(shè)出直線AB的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，由判別式大于0，且y₁y₂≥0求得直線AB在y軸上的截距的取值范圍．

解答 解：（1）∵|PF|=4，∴x_P+$\frac{p}{2}$=4，
∴P點的坐標(biāo)是（4-$\frac{p}{2}$，4），
則有16=2P（4-$\frac{p}{2}$），解得p=4，
∴拋物線方程是y²=8x；
（2）由（1）知點P的坐標(biāo)為（2，4），
∵∠APB的角平分線與x軸垂直，∴PA、PB的傾斜角互補，即PA、PB的斜率互為相反數(shù)，
設(shè)PA的斜率為k，則PA：y-4=k（x-2），k≠0，
與拋物線方程聯(lián)立，可得y²-$\frac{8}{k}$y-16+$\frac{32}{k}$=0，方程的解為4、y₁，
由韋達(dá)定理得：y₁+4=$\frac{8}{k}$，即y₁=$\frac{8}{k}$-4，同理y₂=-$\frac{8}{k}$-4，
又y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，
∴k_AB═-1，
設(shè)AB：y=-x+b，與拋物線方程聯(lián)立可得y²+8y-8b=0，
由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∵△=64+32b＞0⇒b＞-2，y₁•y₂=-8b≥0⇒b≤0，∴-2＜b≤0，
即直線AB在y軸上的截距的取值范圍是（-2，0]．

點評 本題考查拋物線方程的求法，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了一元二次方程有兩不等根的條件的應(yīng)用，是中檔題．