Question

13．已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點，且$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，求證：四邊形EFGH是梯形．

Answer 1

分析 由已知EH為三角形ABD的中位線，從而EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD，由$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，得△CFG∽△ABD，由此能證明四邊形EFGH是梯形．

解答 證明：∵四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是AB、AD的中點，
∴EH為三角形ABD的中位線
∴EH∥BD且EH=$\frac{1}{2}$BD
又∵$\overrightarrow{CF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$，∴$\frac{CF}{CB}=\frac{CG}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴△CFG∽△ABD，且FG∥BD，F(xiàn)G=$\frac{2}{3}$BD
∴在四邊形EFGH中，EH∥FG
即E，F(xiàn)，G，H四點共面，且EH≠FG，
∴四邊形EFGH是梯形．

點評 本題考查的知識點是平行線分線段成比例定理，是基礎(chǔ)題，根據(jù)已知條件，判斷出EH∥FG且EH≠FG，是解答本題的關(guān)鍵．