Question

8．f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]?D（m＜n），使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．
①f（x）=3-$\frac{4}{x}$不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，則m=-4，n=0；
③設(shè)函數(shù)f（x）=|3^x-1|是2型函數(shù)，則m+n=1；
④若函數(shù)y=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，則n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
正確的序號是②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．

解答 解：①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-$\frac{4}{2}$=1，f（4）=3-$\frac{4}{4}$=2，
∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，f（x）是$\frac{1}{2}$型函數(shù)，∴①錯誤；
②y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，即-$\frac{1}{2}$x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0，∴②正確；
③設(shè)函數(shù)f（x）=|3^x-1|是2型函數(shù)，則當定義域為[m，n]時，函數(shù)值域為[2m，2n]，
若n≤0，則函數(shù)f（x）=|3^x-1|=1-3^x，為減函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2n}\\{f（n）=2m}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-{3}^{m}=2n}\\{1-{3}^{n}=2m}\end{array}\right.$，即2-（3^m+3ⁿ）=2（m+n），
若m+n=1，則2-（3^m+3ⁿ）=2，即3^m+3ⁿ=0不成立，
若m≥0，則函數(shù)f（x）=|3^x-1|=3^x-1為增函數(shù)，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（m）={3}^{m}-1=2m}\\{f（n）={3}^{n}-1=2n}\end{array}\right.$，則（3^m+3ⁿ）-2=2（m+n），
若m+n=1，則（3^m+3ⁿ）-2=2，即3^m+3ⁿ=4，
當m=0，n=1時，等式成立，則③正確，
④，y=$\frac{{（a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x₁-x₂=$\sqrt{\frac{{（a+1）}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{{a}^{2}}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即n-m的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴④正確；
故答案為：②③④

點評 本題主要考查與函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是易錯題．綜合性較強，有一定的難度．