Question

18．（1）求函數(shù)y=3-4cos（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]的最大值和最小值及相應(yīng)的x值．
（2）求函數(shù)y=cos²x+2sinx-2，x∈R的值域．
（3）若函數(shù)f（x）=-sin²x+acosx+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]的最小值為$\frac{1}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，即可求得函數(shù)的最大值與最小值；
（2）將原函數(shù)轉(zhuǎn)換為y=-sin²x+2sinx-1，將其看成關(guān)于t的一元二次函數(shù)，寫出t的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得值域；
（3）將原函數(shù)轉(zhuǎn)換f（t）=t²+at+1，t∈[0，1]，討論對稱軸的取值，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求出a的值．

解答 解：（1）y=3-4cos（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=0時取最小值，最小值為-1，即x=-$\frac{π}{6}$，
2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時取最大值，最大值為5，即x=$\frac{π}{6}$，
∴x=-$\frac{π}{6}$時，y取最小值為-1，
x=$\frac{π}{6}$時，y取最大值為5；
（2）y=cos²x+2sinx-2，
=-sin²x+2sinx-1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，
∴y=-t²+2t-1，t∈[-1，1]，
由二次函數(shù)圖象可知，對稱軸為1，
∴y在定義域[-1，1]上單調(diào)遞增，
y的值域為[-4，0]，
∴函數(shù)y=cos²x+2sinx-2，x∈R的值域[-4，0]；
（3）f（x）=-sin²x+acosx+2，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴f（x）=cos²x+acosx+1，x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
令cosx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=t²+at+1，t∈[0，1]，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：a＜0，
當(dāng)對稱軸t=-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2時，
∴最小值為f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a=$-\frac{3}{2}$＞-2，不成立，
當(dāng)0-$\frac{a}{2}$≤1，-2≤a≤0，
當(dāng)t=-$\frac{a}{2}$取最小值，
∴a=-2．

點評 本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)與一元二次函數(shù)結(jié)合，屬于中檔題．