Question

16．已知函數f（x）=x²+$\frac{1}{x}$
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析 （1）利用分母不為0，可得函數f（x）的定義域；
（2）利用函數奇偶性的定義，判斷f（x）的奇偶性；
（3）利用單調性的定義，判斷f（x）在[2，+∞）上的單調性．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）∵函數f（x）的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，
∴f（-x）=x²-$\frac{1}{x}$≠f（x），
∴函數f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（3）任取x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁²+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂²+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁+x₂）（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）．
由于x₁≥2，x₂≥2，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
所以f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在[2，+∞）上是單調遞增函數．

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．