Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，△PAD是等邊三角形，M、N分別為BC、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面PAB；
（Ⅱ）若平面ABCD⊥平面PAD，求直線MN與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取PC中點(diǎn)Q，可證面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；
（2）過(guò)N作NO⊥AD，連接MO，則直線MN與平面ABCD所成的角為∠MNO，即可求解．

解答 （I）證明：取PC中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ．…（2分）
∵M(jìn)，Q分別是BC，PC的中點(diǎn)，
∴MQ∥BP，∴MQ∥平面PAB．…（4分）
同理可證：NQ∥CD∥AB，∴NQ∥平面PAB…（5分）
∴面NQM∥面PAB，得MN∥面PAB；          …（7分）
（Ⅱ）解：過(guò)N作NO⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面PAD，
∴NO⊥平面ABCD，
連接MO，則直線MN與平面ABCD所成的角為∠MNO…（10分）
在△MNO中，$NO=\frac{3}{4}，OM=\frac{{\sqrt{39}}}{4}$…（13分）
直線MN與平面ABCD所成角的正切值為$tan∠NMO=\frac{NO}{MO}=\frac{{\sqrt{39}}}{13}$． …（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成角及求法，直線與平面平行的判定，平面與平面平行的判定與性質(zhì)，難度中檔．