Question

6．某工廠經過市場調查，甲產品的日銷售量P（單位：噸）與銷售價格x（單位：萬元/噸）滿足關系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），已知銷售價格4萬元/噸時，每天可售出該產品9噸．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該產品的成本價格為3萬元/噸，當銷售價格為多少時，該產品每天的利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由銷售價格為4萬元/噸時，每日可銷售出該商品9噸，建立方程，即可得到a的值；
（Ⅱ）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關于x的函數(shù)，再用求基本不等式和二次函數(shù)求得最值，從而得出最大值對應的x值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x=4，p=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），
可得21-4a=9，解得a=3；
（Ⅱ）由上面可得P=$\left\{\begin{array}{l}{21-3x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$，
該商品所獲得的利潤為y=P（x-3）=$\left\{\begin{array}{l}{3（7-x）（x-3），3＜x≤6}\\{（x-3）（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}），6＜x≤9}\end{array}\right.$，
當3＜x≤6時，y=3（7-x）（x-3）≤3（$\frac{7-x+x-3}{2}$）²=12，
當且僅當x=5時，取得最大值12；
當6＜x≤9時，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=7+$\frac{63}{x}$-$\frac{252}{{x}^{2}}$=-252（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{175}{16}$，
當x=8時，取得最大值$\frac{175}{16}$．
綜上可得x=5時，取得最大值12．
即有當銷售價格為5萬元/噸時，該產品每天的利潤最大且為12萬元．

點評 本題考查分段函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運用基本不等式和配方結合二次函數(shù)的最值求得，屬于中檔題．