17.函數(shù)f(x)=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-5}$.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域A;
(2)設(shè)B={x|-1<x<2},當(dāng)實(shí)數(shù)a、b∈(B∩∁RA)時(shí),證明:$\frac{|a+b|}{2}<|1+\frac{ab}{4}$|.

分析 (1)分類討論x的范圍,根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根,利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求出x的范圍,即可確定出A;
(2)求出B與A補(bǔ)集的交集,得到a、b滿足的集合,把所證等式兩邊平方,利用作差法驗(yàn)證即可.

解答 (1)解:由題意得:|x+1|+|x+2|-5≥0,
當(dāng)x≤-2時(shí),得x≤-4;當(dāng)-2<x<-1時(shí),無解;當(dāng)x≥-1時(shí),得x≥1,
∴A={x|x≤-4或x≥1};
(2)證:∵B={x|-1<x<2},∁RA={x|-4<x<1},
∴B∩∁RA={x|-1<x<1},
∴a、b∈{x|-1<x<1},
要證$\frac{|a+b|}{2}$<|1+$\frac{ab}{4}$|,只需證4(a+b)2<(4+ab)2,
∵4(a+b)2-(4+ab)2=4a2+4b2-a2b2-16=(b2-4)(4-a2),
∵a、b∈{ x|-1<x<1},
∴(b2-4)(4-a2)<0,
∴4(a+b)2<(4+ab)2,
∴$\frac{|a+b|}{2}$<|1+$\frac{ab}{4}$|成立.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,以及函數(shù)的定義域及其求法,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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(1)若$\overrightarrow{PA}$∥$\overrightarrow{PB}$,求$\overrightarrow{OP}$的坐標(biāo);
(2)當(dāng)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$取最小值時(shí),求cos∠APB的值.

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(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若該產(chǎn)品的成本價(jià)格為3萬元/噸,當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí),該產(chǎn)品每天的利潤最大?并求出最大值.

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