Question

17．函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x+2|-5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域A；
（2）設(shè)B={x|-1＜x＜2}，當(dāng)實(shí)數(shù)a、b∈（B∩∁_RA）時(shí)，證明：$\frac{|a+b|}{2}＜|1+\frac{ab}{4}$|．

Answer 1

分析 （1）分類討論x的范圍，根據(jù)負(fù)數(shù)沒有平方根，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求出x的范圍，即可確定出A；
（2）求出B與A補(bǔ)集的交集，得到a、b滿足的集合，把所證等式兩邊平方，利用作差法驗(yàn)證即可．

解答 （1）解：由題意得：|x+1|+|x+2|-5≥0，
當(dāng)x≤-2時(shí)，得x≤-4；當(dāng)-2＜x＜-1時(shí)，無解；當(dāng)x≥-1時(shí)，得x≥1，
∴A={x|x≤-4或x≥1}；
（2）證：∵B={x|-1＜x＜2}，∁_RA={x|-4＜x＜1}，
∴B∩∁_RA={x|-1＜x＜1}，
∴a、b∈{x|-1＜x＜1}，
要證$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|，只需證4（a+b）²＜（4+ab）²，
∵4（a+b）²-（4+ab）²=4a²+4b²-a²b²-16=（b²-4）（4-a²），
∵a、b∈{ x|-1＜x＜1}，
∴（b²-4）（4-a²）＜0，
∴4（a+b）²＜（4+ab）²，
∴$\frac{|a+b|}{2}$＜|1+$\frac{ab}{4}$|成立．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，以及函數(shù)的定義域及其求法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．