Question

16．設命題p：方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示雙曲線；命題q：方程y²=（k²-2k）x表示焦點在x軸的正半軸上的拋物線．
（1）若命題p為真，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若命題（?p）∧q是真命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的簡單性質列出不等式，求解即可．
（2）命題（?p）∧q是真命題，兩個命題都是真命題，求解k的范圍去交集即可．

解答 解：（1）因為p為真，方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示雙曲線；所以（3-k）（k-1）＜0，…（3分）
所以實數(shù)k的取值范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）．                …（6分）
（2）當?p是真命題時，實數(shù)k的取值范圍是[1，3]，…（8分）
當q是真命題時，k²-2k＞0，解得k＞2或k＜0，…（11分）
因為命題（?p）∧q是真命題，所以?p是真命題且q也是真命題，
所以$\left\{\begin{array}{l}1≤k≤3\\ k＞2或k＜0\end{array}\right.$，所以實數(shù)k的取值范圍是（2，3]．          …（14分）

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，雙曲線的簡單性質，拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力．