Question

16．設(shè)命題p：方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示雙曲線；命題q：方程y²=（k²-2k）x表示焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線．
（1）若命題p為真，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若命題（?p）∧q是真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的簡單性質(zhì)列出不等式，求解即可．
（2）命題（?p）∧q是真命題，兩個(gè)命題都是真命題，求解k的范圍去交集即可．

解答 解：（1）因?yàn)閜為真，方程$\frac{x^2}{3-k}+\frac{y^2}{k-1}$=1表示雙曲線；所以（3-k）（k-1）＜0，…（3分）
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，1）∪（3，+∞）．                …（6分）
（2）當(dāng)?p是真命題時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1，3]，…（8分）
當(dāng)q是真命題時(shí)，k²-2k＞0，解得k＞2或k＜0，…（11分）
因?yàn)槊�題（?p）∧q是真命題，所以?p是真命題且q也是真命題，
所以$\left\{\begin{array}{l}1≤k≤3\\ k＞2或k＜0\end{array}\right.$，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，3]．          …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，雙曲線的簡單性質(zhì)，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．