Question

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的一個面A₁B₁C₁D₁在半徑為$\sqrt{3}$的半球底面上，A、B、C、D四個頂點都在此半球面上，則正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，連接A₁C₁，B₁D₁，相交于點O．則點O為球心，OA=$\sqrt{3}$．設(shè)正方體的邊長為x，則A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．在Rt△OAA₁中，由勾股定理解出x，即可得出．

解答 解：如圖所示，
連接A₁C₁，B₁D₁，相交于點O．
則點O為球心，OA=$\sqrt{3}$．
設(shè)正方體的邊長為x，則A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．
在Rt△OAA₁中，由勾股定理可得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}x）^{2}$+x²=$（\sqrt{3}）^{2}$，
解得x=$\sqrt{2}$．
∴正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積V=$（\sqrt{2}）^{3}$=2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方體的性質(zhì)與體積、球的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．