Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知A₁C₁⊥B₁C₁，CC₁=2BC=2．
（1）當(dāng)AC=2時(shí)，求異面直線BC₁與AB₁所成角的余弦值；
（2）若直線AB₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BC₁與AB₁所成角的余弦值．
（2）設(shè)AC=a，求出平面A₁C₁B的法向量，由直線AB₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$，利用向量法能求出AC．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥B₁C₁，CC₁=2BC=2，
∴以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁為x軸，C₁B₁為y軸，C₁C為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AC=2，∴B（0，1，0），C₁（0，0，0），A（2，0，2），B₁（0，1，0），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，1，-2），
設(shè)異面直線BC₁與AB₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴異面直線BC₁與AB₁所成角的余弦值$\frac{\sqrt{5}}{\;}5$．
（2）設(shè)AC=a，則A₁（a，0，0），B（0，1，2），C₁（0，0，0），
B₁（0，1，0），A（a，0，2），
$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（a，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，1，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-a，1，-2），
設(shè)平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
∵直線AB₁與平面A₁BC₁所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5+{a}^{2}}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
解得a=$\sqrt{15}$．
∴AC=$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．