Question

14．（文科）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{n-1}{n}$•a_n-1（n≥2）．
（1）求{a_n}的通項公式
（2）設b_n=${a_n}^2$，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：${T_n}＜\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1 （n≥2），利用“累乘求積”即可得出；
（2）b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．當n=1時，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；當n=2時，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；當n≥3時，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，利用“裂項求和”及其不等式的性質即可證明．

解答 （1）解：∵a_n=$\frac{n-1}{n}$a_n-1 （n≥2），
∴a_n-1=$\frac{n-2}{n-1}$a_n-2，…，a₂=$\frac{1}{2}$a₁．
以上（n-1）個式子相乘得：
a_n=a₁•$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•…•$\frac{n-1}{n}$=$\frac{a1}{n}$=$\frac{1}{n}$．
當n=1時也滿足此等式，∴a_n=$\frac{1}{n}$．
（2）證明：b_n=${a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$．
當n=1時，b₁=1＜$\frac{7}{4}$；
當n=2時，b₁+b₂=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$＜$\frac{7}{4}$；
當n≥3時，b_n=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
此時T_n=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n}$＜$\frac{7}{4}$，
∴T_n＜$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查了遞推關系、“累乘求積”方法、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．