Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$，若對(duì)任意b，總存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=b成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-5，11]．

Answer 1

分析 若對(duì)任意b，總存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=b成立，則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，分類討論滿足條件的a值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若對(duì)任意b，總存在實(shí)數(shù)x₀，使得f（x₀）=b成立，
則函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+10，x＞a}\\{{x}^{2}+2x，x≤a}\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，
①當(dāng)a≤-1時(shí)，
x≤a時(shí)，f（x）=x²+2x≥a²+2a，
x＞a時(shí)，f（x）=-x+10＜-a+10，
-a+10≥a²+2a，
解得：-5≤a≤2，
故-5≤a≤-1；
②當(dāng)a＞-1時(shí)，
x≤a時(shí)，f（x）=x²+2x≥-1，
x＞a時(shí)，f（x）=-x+10＜-a+10，
-a+10≥-1，
解得：a≤11，
故-1＜a≤11；
綜上所述，a∈[-5，11]．
故答案為：[-5，11]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分類函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，難度中檔．