Question

5．函數(shù)y=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象與x軸交點的橫坐標為A，B，已知|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，圖象過點（$\frac{π}{4}$，1）．
（1）求ω和φ；
（2）該函數(shù)圖象是由y=sinx的圖象怎樣變換得到的？
（3）若函數(shù)f（x）滿足f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]內(nèi)的所有實數(shù)根之和．

Answer 1

分析 （1）據(jù)|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，由周期公式可解得ω，利用圖象過點（$\frac{π}{4}$，1）即可求出φ．
（2）函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過左右平移，然后是橫坐標變伸縮變換，縱坐標不變，可得到y(tǒng)=f（x）的圖象，確定函數(shù)解析式．
（3）確定函數(shù)在[0，2π]內(nèi)的周期的個數(shù)，利用f（x）=a（0＜a＜1）與函數(shù)的對稱軸的關(guān)系，求出所有實數(shù)根之和．

解答 解：（1）∵|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，
∴由周期公式可得：T=2×$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{2ω}$，可解得ω=$\frac{3}{2}$，
∵圖象過點（$\frac{π}{4}$，1）．
∴1=sin（3×$\frac{π}{4}$+φ），解得：3×$\frac{π}{4}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得函數(shù)解析式為：y=sin（3x-$\frac{π}{4}$），將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象，縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的$\frac{1}{3}$倍得到函數(shù)y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的圖象．
（3）（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期為$\frac{2}{3}$π，
∴y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）在[0，2π]內(nèi)恰有3個周期，
∴sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a（0＜a＜1）在[0，2π]內(nèi)有6個實根且x1+x2=$\frac{π}{2}$，
同理，x3+x4=$\frac{11}{6}$π，x5+x6=$\frac{19}{6}$π，
故所有實數(shù)之和為$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$=$\frac{11π}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查計算能力，是中檔題．