Question

【題目】已知a是實(shí)常數(shù)，函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線過點(diǎn)A（0，﹣2），求實(shí)數(shù)a的值；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)（），

①求證：；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，注意函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．第一問，求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，代入點(diǎn)（0，﹣2），即可解得a；第二問，①依題意：有兩個(gè)不等實(shí)根（），設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≥0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，求得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，令極大值大于0，解不等式即可得證；②由①知：，變化，求得的增區(qū)間，通過導(dǎo)數(shù)，判斷，設(shè)（0＜x＜1），求得h（x）的單調(diào)性，即可得證．

試題解析：（1）由已知可得，（x＞0），切點(diǎn)，

在x=1處的切線斜率為，

切線方程：，

把代入得：a=1；

（2）證明：①依題意：有兩個(gè)不等實(shí)根（），

設(shè)則：（x＞0）

當(dāng)a≥0時(shí)，有，所以是增函數(shù)，不符合題意；

當(dāng)a＜0時(shí)：由得：，

列表如下：

依題意：，解得：，

綜上可得，得證；

②由①知：，變化如下：

由表可知：在[x1，x2]上為增函數(shù)，所以：

又，故，

由（1）知：，（）

設(shè)（），則成立，所以單調(diào)遞減，

故：，也就是,

綜上所證：成立．