Question

5．已知sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，則tan（θ+$\frac{π}{4}$）=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． ±$\frac{1}{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由題意和sin²θ+cos²θ=1聯(lián)立解得sinθ和cosθ，進(jìn)而可得tanθ，再由兩角和的正切公式可得．

解答 解：∵sinθ+cosθ=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，sin²θ+cos²θ=1
聯(lián)立解得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$時，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=3，tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=-2；
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{10}}{10}}\\{cosθ=\frac{3\sqrt{10}}{10}}\end{array}\right.$時，tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{1}{3}$，tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=2．
故選：D

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和分類討論的思想，屬中檔題．