Question

13．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，并滿足a_n＞0，4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n=S${\;}_{_{n-1}}$（n≥2，n∈N^*），記c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}-1}$，{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明：$\frac{3}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，將n換為n-1，兩式相減，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求；
（2）由b₁=3，兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$＞0，再由c_n=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$，結(jié)合不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)相消求和，即可得證．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，4a₁=4S₁=（a₁+1）²，
解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，由4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*），
將n換為n-1，可得4S_n-1=（a_n-1+1）²，
兩式相減可得4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化簡(jiǎn)可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2，
即有a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）證明：由a_n=2n-1，可得S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²，
b_n=S${\;}_{_{n-1}}$（n≥2）=b²_n-1，
由b₁=3，兩邊取以3為底的對(duì)數(shù)，可得
log₃b_n=2log₃b_n-1，
即有l(wèi)og₃b_n=log₃b₁•2^n-1=2^n-1，
即b_n=${3}^{{2}^{n-1}}$，c_n=$\frac{_{n}}{_{n+1}-1}$=$\frac{{3}^{{2}^{n-1}}}{{3}^{{2}^{n}}-1}$＞0，
則T_n≥c₁=$\frac{3}{{3}^{2}-1}$=$\frac{3}{8}$；
又c_n=$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{80}$+$\frac{1}{80}$-$\frac{1}{80×82}$+…+$\frac{1}{{3}^{{2}^{n-1}}-1}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（{3}^{{2}^{n-1}}-1）（{3}^{{2}^{n-1}}+1）}$＜$\frac{1}{2}$．
綜上可得，$\frac{3}{8}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換法，同時(shí)考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查不等式的證明，注意運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．