Question

19．已知函數f（x）=2lnx+x²-a²x（x＞0，a∈R）．
（1）當a＞0時，若函數f（x）在[1，2]上單調遞減，求a的最小值；
（2）當a=$\sqrt{5}$時，f（x）在區(qū)間（k-$\frac{1}{2}$，k）上為單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數，函數f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，可得$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，分離參數求最大值，即可求a的最小值；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞減區(qū)間，得到關于k的不等式組，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2lnx+x²-a²x，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-a²，
∵函數f（x）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
∴$\frac{2}{x}$+2x-a²≤0在區(qū)間[1，2]上恒成立，
∴a²≥$\frac{2}{x}$+2x，
∵y=$\frac{2}{x}$+2x在區(qū)間[1，2]上單調遞增，
∴y_max=5，∴a²≥5，
∵a＞0，∴a≥$\sqrt{5}$；
（2）∵a=$\sqrt{5}$時，f（x）=2lnx+x²-5x，（x＞0），
∴f′（x）=$\frac{（2x-1）（x-2）}{x}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，
若f（x）在區(qū)間（k-$\frac{1}{2}$，k）上為單調函數，
則$\left\{\begin{array}{l}{k-\frac{1}{2}≥\frac{1}{2}}\\{k≤2}\end{array}\right.$，解得0≤k≤2．

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性問題，考查分離參數法的運用，屬于中檔題．