Question

4．△ABC中，點(diǎn)A（4，-1），AB的中點(diǎn)為M（3，2），重心為P（4，2），求邊BC的長．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用AB的中點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，
再利用重心坐標(biāo)求出BC邊的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可求出邊長BC的值．

解答 解：△ABC中，點(diǎn)A（4，-1），AB的中點(diǎn)為M（3，2），重心為P（4，2），
畫出圖形，如圖所示；
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+4}{2}=3}\\{\frac{y-1}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，即B（2，5）；
延長AP交BC與點(diǎn)N，則$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PN}$，
設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x′，y′），
則$\overrightarrow{AP}$=（0，3），$\overrightarrow{PN}$=（x′-4，y′-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x′-4）=0}\\{2（y′-2）=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x′=4}\\{y′=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)N（4，$\frac{7}{2}$），
∴BN=$\sqrt{{（4-2）}^{2}{+（\frac{7}{2}-5）}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴邊長BC=2BN=5．

點(diǎn)評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了三角形的重心與線段中點(diǎn)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．