Question

19．已知兩個(gè)函數(shù)f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x
（1）若對(duì)任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍
（2）若對(duì)任意x₁∈[-3，3]，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，求出k（x）的最大值k（x）_大≤0即可．
（2）分別求出f（x），g（x）在[-3，3]上的最大值和最小值，求出f（x）_大≤g（x）_小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=7x²-28x-c，g（x）=2x³+4x²-40x．
令k（x）=f（x）-g（x）=-2x³+3x²+12x-c，x∈[-3，3]，
k′（x）=-6x²+6x+12，
由-6x²+6x+12=0，可得x=-1，x=2，
由-6x²+6x+12＞0，可得-1＜x＜2
由-6x²+6x+12＜0，可得x＜-1或x＞2，

x	[-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
y′	-	0	+	0	-
y	減	極小值	增	極大值	減

則k（-3）=45-c，k（3）=9-c，k（-1）=-7-c，k（2）=18-c，
即有k（x）的最大值為45-c，最小值-7-c，
∵對(duì)任意x∈[-3，3]，都有f（x）≤g（x）成立，
∴45-c≤0，即c≥45；
（2）f（x）=7x²-28x-c=7（x-2）²-28-c，x∈[-3，3]，
即有f（x）的最大值為f（-3）=147-c，
g（x）=2x³+4x²-40x．g′（x）=6x²+8x-40，x∈[-3，3]，
可得g（x）在（-3，2）遞減，在（2，3）遞增，
得出g（x）的最小值為g（2）=-48，
∵對(duì)任意x₁，x₂∈[-3，3]，都有f（x₁）≤g（x₂），
∴147-c≤-48，即有c≥195．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時(shí)考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意等價(jià)變形是解題的關(guān)鍵．