Question

7．如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．則異面直線OB與MD所成角余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 取AB中點N，連接MN，由三角形中位線定理得MN∥OB，則∠DMN為異面直線OB與MD所成角，然后通過求解直角三角形得到△DMN的三邊長，再由余弦定理得答案．

解答 解：如圖，
取AB中點N，連接MN，
又M為OA的中點，∴MN∥OB，則∠DMN為異面直線OB與MD所成角，
∵底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，
可得DM=$\sqrt{5}$，MN=$\sqrt{2}$，DN=$\sqrt{5}$．
在△DMN中，cos∠DMN=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題考查異面直線及其所成的角，考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現(xiàn)平行線的關鍵技巧，是中檔題．