Question

18．已知函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$）（k＞0，k∈Z）有一條對(duì)稱軸x=$\frac{π}{6}$，且在任意兩整數(shù)間至少出現(xiàn)一次最大值和最小值，求k的最小取值．

Answer 1

分析 先由對(duì)稱軸x=$\frac{π}{6}$，可得$\frac{k}{5}×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}$=mπ+$\frac{π}{2}$，解得：k=30m+5，m∈Z，根據(jù)在任意兩個(gè)整數(shù)之間（包括正整數(shù)本身）變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)最大值和最小值，可確定函數(shù)f（x）的最小正周期的范圍，再由正弦函數(shù)的最小正周期的求法可得到k的取值范圍，進(jìn)而可得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$）（k＞0，k∈Z）有一條對(duì)稱軸x=$\frac{π}{6}$，
∴$\frac{k}{5}×\frac{π}{6}+\frac{π}{3}$=mπ+$\frac{π}{2}$，m∈Z，
∴解得：k=30m+5，m∈Z①，
為使得函數(shù)f（x）=3sin（$\frac{k}{5}x$+$\frac{π}{3}$），其中k＞0，k∈Z在任意兩個(gè)整數(shù)之間變化時(shí)，函數(shù)f（x）至少有一個(gè)最大值和最小值．
則函數(shù)f（x）的最小正周期一定不大于2，
∴T=$\frac{2π}{\frac{k}{5}}$=$\frac{10π}{k}$≤2，
∴k≥5π≈5×3.14=15.7②，
∴由①②即可解得k的最小自然數(shù)為35．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的基本性質(zhì)--周期性．三角函數(shù)是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，并且對(duì)三角函數(shù)的考查一般以基礎(chǔ)題為主，一定要強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的夯實(shí)，屬于中檔題．