Question

9．已知函數(shù)f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx的一條對稱軸為x=-$\frac{π}{6}$，且f（x₁）•f（x₂）=-4，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． a=±1
• B． f（x₁+x₂）=0
• C． |x₁+x₂|的最小值為$\frac{2π}{3}$
• D． f（x）的最小正周期為2|x₁-x₂|

Answer 1

分析 首先通過三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步利用對稱軸確定函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最值確定結(jié)果．

解答 解：f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（x+θ），
由于函數(shù)的對稱軸為：x=-$\frac{π}{6}$，
所以f（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$a-$\frac{3}{2}$，
則：|-$\frac{1}{2}$a-$\frac{3}{2}$|=$\sqrt{{a}^{2}+3}$，
解得：a=1，
所以：f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$），
由于：f（x₁）•f（x₂）=-4，
所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，
所以：x₁=2kπ+$\frac{5π}{6}$或x₂=2kπ-$\frac{π}{6}$，
所以：|x₁+x₂|=4kπ+$\frac{2π}{3}$，當k=0時，最小值為$\frac{2π}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，利用對稱軸求函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)的最值確定結(jié)果，考查了數(shù)形結(jié)合能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．