Question

8．如圖所示，在平面直角坐際系中有一拋物線y₁=ax²，且拋物線經過點（2a-1，1），y軸上有一定點F，其坐標為（0，$\frac{1}{4}$），直線1的解析式為y₂=-$\frac{1}{4}$，在拋物線上有一動點P，連接PF，并過點P作PN⊥直線1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：PF=PN；
（3）直角坐標系中有一點E（2，5），試問當動點P位于何處B，PE+PF有最小值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）把（2a-1，1）代入拋物線解析式求出a；
（2）使用兩點間的距離公式和點到直線的距離公式證明；
（3）判斷E點與拋物線的位置關系，使用（2）中的結論將PE+PF的距離之和轉化為線段長．

解答 解：（1）∵拋物線經過點（2a-1，1），∴a（2a-1）²=1，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²．
（2）設P（x，x²），則PF=$\sqrt{{x}^{2}+（{x}^{2}-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}^{2}+\frac{1}{4}）^{2}}$=x²+$\frac{1}{4}$．PN=x²+$\frac{1}{4}$．
∴PF=PN．
（3）∵2²=4＜5，∴E（2，5）在拋物線y=x²上方．
過E作PN⊥l₂，交拋物線于P點，交l₂于N點，此時P（2，4），PE+PF=PE+PN=EN=$\frac{21}{4}$，
∴當P位于（2，4）時，PE+PF有最小值，最小值為$\frac{21}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的解析式求法，拋物線的性質，屬于基礎題．